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2024年湖南成考高起點《數學(文)》重點知識復習(3)

湖南成考幫 發布時間:2024-08-15 17:01:04

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2024年湖南成考高起點《數學(文)》重點知識復習(3)                     

  等差數列、等比數列

  等差、等比數列的性質是等差、等比數列的概念,通項公式,前n項和公式的引申.應用等差等比數列的性質解題,往往可以回避求其首項和公差或公比,使問題得到整體地解決,能夠在運算時達到運算靈活,方便快捷的目的,故一直受到重視.成人高考中也一直重點考查這部分內容。

  ●難點磁場

  (★★★★★)等差數列{an}的前n項的和為30,前2m項的和為100,求它的前3m項的和為_________.

  ●案例探究

  [例1]已知函數f(x)= (x<-2).

  (1)求f(x)的反函數f--1(x);

  (2)設a1=1, =-f--1(an)(n∈N*),求an;

  (3)設Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整數m,使得對任意n∈N*,有bn< 成立?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.

  命題意圖:本題是一道與函數、數列有關的綜合性題目,著重考查學生的邏輯分析能力,屬★★★★★級題目.

  知識依托:本題融合了反函數,數列遞推公式,等差數列基本問題、數列的和、函數單調性等知識于一爐,結構巧妙,形式新穎,是一道精致的綜合題.

  錯解分析:本題首問考查反函數,反函數的定義域是原函數的值域,這是一個易錯點,(2)問以數列{ }為橋梁求an,不易突破.

  技巧與方法:(2)問由式子 得 =4,構造等差數列{ },從而求得an,即“借雞生蛋”是求數列通項的常用技巧;(3)問運用了函數的思想.

  解:(1)設y= ,∵x<-2,∴x=- ,

  即y=f--1(x)=- (x>0)

  (2)∵ ,

  ∴{ }是公差為4的等差數列,

  ∵a1=1, = +4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an= .

  (3)bn=Sn+1-Sn=an+12= ,由bn< ,得m> ,

  設g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是減函數,

  ∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整數m=6,使對任意n∈N*有bn< 成立.

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